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　　掌握如何減少噪聲，使用中斷服務例程，以及更多關于PID控制傳遞函數的信息。

　　雖然在 s 域中處理控制系統是完全合乎邏輯的，因為受控系統是連續（時間）運行的，但控制系統的實現是另一回事。現在，幾乎所有的控制系統都是基于微處理器（微控制器）或數字信號處理器的數字系統，如圖 1所示。

圖 1 ：此框圖顯示了一個數字閉環控制系統。

　　用于離散時間控制系統的 PID

　　模擬 PID 控制器，仍然被認為是非常強大的（圖 2），可以修改為離散時間控制系統，因為將其微分方程（等式 1）重寫為其差分形式（等式 2）并不困難。

　　其中 u[n] 是當前時間 n 的驅動值，e[n] 是時間 n 的調節誤差， e [n-1] 是前一采樣時間 n-1 的調節誤差。T 是采樣的時間段。相同的時間段 T 用于信號處理，即用于 u[n] 的計算。

　　對于實際應用，等式 2 需要從積分部分開始進行某些修改。積分部分將調節誤差的每個值相加，然后將該和乘以時間常數和積分常數。如果時間或積分常數的值突然變化（這可能發生，尤其是在整定過程中），則驅動值將突然變化并導致問題。更好的方法是先將調節誤差乘以這兩個常數，然后再累加其乘積。通過使用梯形近似積分代替矩形近似積分，可以從另外一方面實現改進。

　　如何減少噪聲？

　　等式 2 的導數是問題的第二個來源。在其簡單形式中，該成員往往是噪聲。為了減少噪聲，可以使用兩個以上（例如四個）連續的調節誤差采樣。結果就好像調節誤差的差值通過了一個微小的（4 階）有限脈沖響應（FIR）濾波器。修改后的 PID 公式如下等式 3 所示。該差分方程可以在任何編程語言和任何微處理器 / 微控制器中實現。

　　中斷服務程序

　　盡管如此，關于采樣 / 處理周期 T 還有一個懸而未決的問題。控制過程周期（頻率）是多少，它取決于什么？控制頻率僅取決于閉環傳遞函數的時間常數。請記住，這個時間常數可以比受控系統本身的時間常數小一個數量級。最佳情況下，運行控制程序的頻率應比閉環時間常數 τ 的值高 5 到 10 倍。在控制過程開始運行之前，應具有 r[n] 和y[n] 的最新樣本。

　　最好的安排是，如果控制程序被稱為中斷服務例程（ISR），則由提供 y[n] 值的 A/D轉換器觸發。控制程序計算的結果，即執行變量 u[n]，應盡快發送到 D/A 轉換器。否則，受控系統的傳遞函數將受到傳輸延遲的影響，這可能會破壞控制系統（使其不穩定）。

　　為了避免噪聲，必須徹底過濾所有測量變量，如 y(t)信號，因為噪聲總是可以從外部滲透到控制系統中，例如，由電子部件（主要是開關電源）引起的板載噪聲。它們應通過適當的抗混疊濾波器，并且截止頻率遠低于采樣頻率 1/T 的一半。如果由于某種原因，它們無法通過適當的模擬濾波器進行過濾，則至少應過采樣并進行數字濾波。

圖 2: PID 控制器根據比例、積分和微分分量計算驅動值

　　關于 PID 控制傳遞函數的更多信息

　　等式 3 不是實現離散 PID 控制器的唯一方法。另一種可能性是將 PID 控制傳遞函數從其 s 域（等式 4）轉換為 z 域。實際上，這種轉變有兩種方式。兩者都是從離散時間積分的不同近似推導而來的。最常見的近似離散時間積分是矩形（等式 5）和梯形（等式 6）近似。

　　如果在 z 域中表達 ，對于矩形近似，您將得到

　　這是梯形近似的結果 ：

　　等式 7 和 8 對應于積分項，其在 s 域中表示為 1/s。因此，如果取等式 7 右側的倒數（s），并用其替換等式 4中的每個 s 算子，則會得到 PID 補償的以下傳遞函數（在z 域中）：

　　類似地，如果取等式 8 右側的倒數，并用其替換等式 4 中的每個 s 算子，則會得到以下 PID 補償的傳遞函數（在 z 域中）：

　　z 域中的控制系統建模

　　等式 9 和等式 10 適用于在 z 域中對控制系統建模（例如在 Matlab 中），但不能由任何控制器直接實現。然而，在對等式 9 進行 z 逆變換后，您將得到以下等式

　　和等式 10 的 z 逆變換 ：

　　等式 11 和等式 12 非常適合在任何微處理器（微控制器）或數字信號處理器上實現。如果將 K1、K2 和 K3作為預先計算好的常數（而不是變量），整個控制過程將需要三次乘法、四次加法并需要記住四個先前計算的變量——兩個調節誤差 e[n-1] 和 e[n-2]，以及兩個驅動變量 u[n-1] 和 u[n-2]（僅適用于等式 12）。e[n] 計算需要一次減法。

　　無限脈沖響應濾波器

　　您可以進一步優化控制程序。數字信號處理行業有非常流行的遞歸濾波器，即所謂的無限脈沖響應（IIR）濾波器。通常，它們是級聯二階濾波器。圖 3 顯示了一個這樣的二階濾波器，通常稱為“雙二階”，轉換為其標準形式，即級聯形式 II。

圖 3 ：二階規范 IIR 濾波器部分用作 PID 控制器。

　　實現這種雙二階需要更少的內存空間，只需要記住兩個狀態變量 d[n-1]、d[n-2]，而不是四個變量。標準無限脈沖響應濾波器段由以下兩個差分方程描述 ：

　　盡管選擇有限，但 A1 和 A2 的值仍然有選擇的余地。然而，必須遵守兩條規則 ：A1 和 A2 值的總和必須始終為1.0，并且任何值都不能大于 1.0。因此，可以使用的 A1和 A2 系數如，值 1.0 和 0，或 0.5 和 0.5，或 0 和 1.0，或介于兩者之間的任何值。

　　最后一種組合，其響應與等式 12 的相同。A2 值越低，控制系統響應越快。這可以簡化整定過程，因為您可以將 KI 常數（以及 KP 和 K D 值）設置為某個合理的值，而不是頻繁修改 KI 值（如果您想使 KP 和 K D 值達到最優則需要重新計算，即取消受控系統的極點），例如，將 KI 調整為值 10/(τ1+τ2)（其中 τ1 和 τ2 是受控系統的主要時間常數），并通過調整 A1 和 A2 值完成最終的整定。

　　并非每個 PID 實現都令人滿意

　　雖然在必須實現任何算法問題時有一個選擇總是很好的，但并非每個實現都能提供令人滿意的結果。這同樣適用于本文所描述的 PID 控制過程。理論上，所有這些過程在紙面上都很好地工作，但是當實施時，就會出現問題。

　　雖然第一個公式，等式 3 的實現需要比其余兩個更多的數學運算（乘法、加法）和記住更多先前的結果，但它提供了非常平滑的結果。等式 11 的行為也類似。然而，等式 12 的實現將無法產生令人滿意的結果，因為它在穩定邊緣上運行，其輸出將永久振蕩。等式13/14 將正常工作，但 A1 系數必須保持 >0，否則的話，其行為將與等式 12 實現完全相同，并產生永久振蕩。